雑誌論文（レフェリーがある学術雑誌に掲載された論文）

投稿中・執筆中の論文

An explicit formula for the discrete power function associated with circle patterns of Schramm type

著者： Hiroshi Ando, Mike Hay, Kenji Kajiwara and Tetsu Masuda(Aoyama Gakuin Univ.)
執筆中！(もうすぐ完成)

Explicit solutions to semi-discrete modified KdV equation and motion of discrete plane curve

著者： Jun-ichi Inoguchi (Yamagata Univ.), Kenji Kajiwara, Nozomu Matsuura (Fukuoka Univ.) and Yasuhiro Ohta (Kobe Univ.)
執筆中！(もうすぐ完成)

2011年に掲載・掲載予定の論文

Bilinearization and special solutions to the discrete Schwarzian KdV equation

著者： Mike Hay, Kenji Kajiwara and Tetsu Masuda(Aoyama Gakuin Univ.)
Journal of Math-for-Industry3(2011) 53-62.
Discrete Schwarizian KdV (dSKdV)方程式(別名 cross-ratio equation)と呼ばれる離散可積分系の双線形化とτ函数を議論しました．この方程式は4つの複素数 z(n,m), z(n+1,m),z(n,m+1),z(n+1,m+1)に対して定まる複比が(nだけの函数)と(mだけの函数)の積，という形をした方程式で，形からして一次分数変換に関して不変な方程式です．連続極限でやはり一次分数変換不変なSchwarian KdV方程式に帰着することからこの名前がありますが，幾何，特に離散微分幾何では基本的な方程式として知られており，離散曲線のBäcklund変換を記述したり，複素函数を写像と見たときの離散正則性(discrete holomorphicity)の特徴付けに用いられますが，非線形波動などの物理現象を記述するものではないためか，KdV 方程式などと比べてあまり研究が進んでいませんでした．この論文では，まずdSKdV方程式をDiscrete Schwarzian KP (dSKP)方程式の簡約として定式化します．そしてdSKP方程式の双線形方程式が3本の離散2次元戸田格子方程式に分解できることを示し，それを用いてdSKP 方程式の Casorati 行列式解(ソリトン型，分子型)の解を構成しました．さらに，その簡約からdSKdV 方程式のCasorati行列式解を導出しています．双線形方程式やτ函数の構造から， dSKdV 方程式は「2nd Bäcklund変換」を記述する方程式だということがわかりました．つまり，可積分系で通常の Bäcklund変換を2回繰り返した解と元の解をつなぐ方程式となっているのです．ですので，他の離散可積分系より若干取り扱いにくい方程式です．次に，dSKdV 方程式は Painlevé VI 方程式の Bäcklund変換のchainを記述することが知られており，他のPainlevé系でも同様のことが期待されます．そこで，この論文ではPainlevé系として (A₂+A₁)⁽¹⁾型(q-Painlevé III)とD₄⁽¹⁾型(Painlevé VI)を取り上げ，それらのτ函数で表される dSKdV 方程式の特殊解を明示的に作りました．なお，最後の公式を応用すると，Agafonov-Bobenko の構成した離散冪函数 z^γのPainlevé VIのτ函数による明示公式を作ることができ，これについては現在論文を準備中です．離散正則函数については吉田正章氏による大変よい解説（「数理科学」2010年11月号）があります．

Motion and Bäcklund transformations of discrete plane curves

著者： Jun-ichi Inoguchi (Yamagata Univ.), Kenji Kajiwara, Nozomu Matsuura (Fukuoka Univ.) and Yasuhiro Ohta (Kobe Univ.)
arXiv:1008.2808, to appear in Kyushu Journal of Mathematics (2011)
可積分系の理論と古典微分幾何学，特に曲面と曲線の幾何学との間には密接な関係があることが知られています．例えば負の定曲率曲面，例えば擬球は典型的な可積分系である sine-Gordon方程式で統制されることは，既に19世紀に知られています．また，著者の一人，井ノ口順一さんの最近の著書「曲線とソリトン」は主にユークリッド平面上の曲線の運動を扱っており，運動がこれも典型的な可積分系である modified KdV 方程式で統制されることが示されています．それじゃあということで，離散可積分系の理論を用いて可積分性を保ったまま幾何学的オブジェクトの離散化を行えば面白かろうと思うわけですが，それは主にベルリンの Bobenko たちのグループや，ミュンヘンの Hoffmann，ポーランドの Doliwa，オーストラリアの Schief たちが「Discrete differential geometry」という名前で90年代後半から研究を精力的に進めていて，特に曲面論の離散化の進展が著しいところです．せっかく井ノ口さんが本を書いたから，こっちとしては離散曲線の離散運動の理論を作ってみたくなるわけで，そうすればロッドの制御とか工学的な応用も将来あるかなと思いました．でも，一般には曲面より曲線の方が次元が低いし話は簡単だと思われていますから，きっとそんなものはとっくにあるだろうとなぁ思ったら，実はない．実際に，離散曲線の連続運動について2種類の理論が提出されていますが，両者ともそのまま離散運動の理論に拡張することは難しそうです．ところが最近，福岡大の松浦さんがある離散modified KdV 方程式(離散modifief KdVと呼ばれる差分方程式は複数あるので)で統制される離散曲線の離散運動の枠組みを作りました．これは非常に自然な構成に見えるので，これは本物だ，一気に理論を完成に持っていってしまおうと著者たちが協力してτ函数の理論を応用して理論の詳細な解析を行い，ソリトン解やブリーザー解などの厳密解や変換理論を作ったりしたのがこの論文です．「離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2010」の多分初めての具体的な成果です．そして，可積分系の研究者と微分幾何の研究者の，（多分これも初めての）実質的なコラボレーションによる画期的な（と言ってしまおう）成果です．さらに，この研究に始めるに当たって，半年だけでしたが九大数理に教授として赴任し講義をしてくれた Tim Hoffmann の存在が大きかったことは述べておかなければならないと思います．

2009年-2010年に掲載された論文

Projective reduction of the discrete Painlevé system of type (A₂+A₁)⁽¹⁾

著者： Kenji Kajiwara, Teruhisa Tsuda and Nobutaka Nakazono
arXiv:0910.4439, Int. Math. Res. Notices doi:10.1093/imrn/rnq089 (2010)
応用力学研究所の報告に執筆した論文の正式なバージョンです．この論文では「対称化」の概念を一般化して「projective reduction」(射影簡約)という概念を提出しています．アフィンワイル群の無限位数の元を対応するルート格子の適当な部分格子上に射影することにより，ルートベクトルに関する平行移動とは異なる時間発展を定義することができ，それで新しい離散力学系を構成するという手続きです．この簡約を活用して，(A₂+A₁)⁽¹⁾型のq-パンルヴェIII方程式の対称化を議論し， τ函数や超幾何解に見られる奇妙な現象のメカニズム解明をしたというのが本論文の主結果です．特に，異なる方法で構成され見ためも全く異なる二つの超幾何解の間に，あらわな関係式が成り立つこと示されたのは一つの重要な結果です．非自明な射影簡約は対称性が高い離散パンルヴェ系には多くの例があり，例えばA₃⁽¹⁾型やA₄⁽¹⁾型の離散パンルヴェ系の例は興味深いです．今後の論文で詳しく議論していきたいと思っています．

The discrete potential Boussinesq equation and its multisoliton solutions

著者： Ken-ichi Maruno (University of Texas Pan-American) and Kenji Kajiwara
arXiv:0908.1800v1, to appear in Applicable Anaylsis(2010).
Discrete Boussinesq 方程式にはいろいろなバージョンがあるのですが，意外にきちんと研究されていません．この論文は，実は同志社時代にお蔵入りしていた結果に丸野さんがいろいろ最新の知見を付け加えてくれて，特異点閉じ込めを用いたDiscrete Boussinesq 方程式のいろいろなバージョン間の関係の解明や，ソリトン解の行列式表示を議論したものです．

Bilinearization and Casorati determinant solutions to non-autonomous 1 + 1 dimensional discrete soliton equations

著者： Kenji Kajiwara and Yasuhiro Ohta (Kobe Univ.)
RIMS Kokyuroku Bessatsu B13(2009) 53-74.
1 + 1 次元のnon-autonomous な離散ソリトン系(格子間隔が対応する独立変数の任意函数となっているような離散ソリトン系の拡張) の双線形化の技法と，具体的なソリトン型の解の Casorati 行列式表示を，discrete KdV 方程式，discrete Toda lattice 方程式，discrete Lotka-Volterra 方程式の3つの方程式を例にして議論しました．

q-Painlevé方程式の対称化

著者：梶原健司，中園信孝，津田照久(九大数理)
九州大学応用力学研究所研究集会報告20ME-S7 「非線形波動の数理と物理」(2009) 21-28.
離散パンルヴェ方程式の代数幾何学的構造理論である坂井理論によれば，離散パンルヴェ方程式は複素射影平面の9点ブローアップによって得られる代数曲面上のクレモナ変換が作る離散力学系だと理解されています．方程式はブローアップする9点の配置によって分類され，もっともgeneric な場合に楕円パンルヴェ方程式が得られ，他の方程式は退化した点配置から得られます．退化図式のずっと下の方の方程式を除き，ほとんどの方程式は1階連立方程式の形をしています．ところが離散パンルヴェ方程式の研究の初期の頃，方程式は単独2階の差分方程式の形で探索され，それから「特異点閉じ込め」を用いて，可積分性を保ったまま1階連立方程式の形に拡張されてきました．逆に，後者の方程式でパラメータを特殊化して単独2階方程式に落とす操作を「対称化」と呼びます．実は超幾何型の特殊解を見ると，対称化前後で解の構造に奇妙な違いがあるのです．(1) 現れる超幾何函数の種類が違う (2) 対称化後に行列式構造に奇妙な非対称性が現れる．単にパラメータの特殊化以上の違いがあるような感じがします．私自身は，(2) の構造がソリトン系などでは見られず，離散パンルヴェ系のみに見られることを不思議に思い，それから離散パンルヴェ系の研究を始めたという経緯がありまして，ずっと気になっていました．この論文ではその現象の不思議を解明する一つの試みを議論しました．まず，坂井理論で現れる全てのq-パンルヴェ系について対称化を実行し，対称化した方程式のもっとも簡単な超幾何解を構成しました．これは(1)をまず全ての方程式で見てみようということです．次に，q-パンルヴェIII方程式と呼ばれる方程式を取り上げて，ワイル群対称性の立場から，上の(1),(2)の理論的背景を解明しました．

Ultradiscretization of a solvable two-dimensional chaotic map assciated with the Hesse cubic curve

著者： Kenji Kajiwara, Masanobu Kaneko (Kyushu Univ.), Atsushi Nobe(Osaka Univ.), Teruhisa Tsuda (Kyushu Univ.)
Kyushu Journal of Mathematics 63(No.2)(2009) 315-338.
この論文(J. Phys. A Math. Theor. 41(2008) 395202) の続編で，楕円曲線の Hesse の標準形上の2次元可解カオス系とその超離散化を議論します．まず，Hesse の標準形上の倍角写像を定式化し，その一般解をレベル3のテータ函数を用いて具体的に構成します．これは古典的によく知られている結果らしいですが，詳しそうな人に聞いても，実際にどの文献に書かれているかあまり知られていないようなので，ここでJacobi 全集(!)を参考にして具体的に作ってしまいました．次に，その力学系の超離散化を考えます．方程式はもちろんマイナス符号が含まれていて，1次元のときのように簡単な変換で除去できそうにはありませんが，形式的に超離散化してしまいます．すると，あるトロピカル楕円曲線上で倍角写像と見なすことができる超離散系が得られます．現れるトロピカル曲線は大変性質がよく，接線を引いて倍角写像を幾何学的に定式化することができ，一般解も超離散テータ函数を用いて書くことができます．ポイントは，負号の問題があるにも関わらず，元の力学系の一般解の超離散化が可能で，上で得られた超離散テータ解に帰着するということです．解の極限移行においては，上手なモジュラー変換を適用してτ→-1/3 への極限によって超離散極限を実現するのがミソです．多分，超離散化において「負号の問題」を超えて非自明な結果を出した初めての例ではないかと思います．

2007-2008年に掲載された論文

Ultradiscretization of solvable one-dimensional chaotic maps

著者： Kenji Kajiwara, Atsushi Nobe(Osaka Univ.) and Teruhisa Tsuda
J. Phys. A Math. Theor. 41(2008) 395202 (13pp) doi: 10.1088/1751-8113/41/39/395202, arxiv:0803.4062v2
可積分系の半歩外に出て，可積分系以外で意味のある超離散化にチャレンジし，うまくいきました．昔，一番簡単な可解カオス系であるlogistic map (sin²の倍角公式から作られる)の超離散化を試みてうまくいかないということを雑誌「数理科学」の記事の中で書いたことがあります(1998年)．方程式はうまく超離散化できるのですが，解が極限ですっとんでしまい，意味のある解が得られないのです．ところが最近，超離散化に関してはトロピカル幾何との関係があらわにわかってくるなど，理論的な知見がいろいろと蓄積されてきています．そういう空気の中，野邊さんがセミナーで講演しに来てくれた際に，津田さんも入れて3人でlogistic map の話から始めてこんなことできないかなぁなんてダベっていているうちにできた話です．logistic map の拡張として，sn² の倍角公式から作られる可解カオス系を考えます．ここで sn は楕円函数の一つで Jacobi の sn 函数です．この力学系と解はパラメータ k (0< k< 1) を含み， k=0 の時にlogistic map とその解に帰着します．この力学系を，1871年に最初に導出した SchröderにちなんでSchröder map と呼ぶことにします．Schröder mapはそのままでは式に負号を含むので超離散化できませんが，簡単な一次分数変換で超離散化できる形になります．そして超離散化で得られるのは，期待通り，やはり典型的なカオス力学系である tent map です．重要なことは，Schröder mapの解も超離散化できて， tent map の解を与えるということです．この副産物として，tent map に対してトロピカル幾何学的な描像を与えることができます．つまり， tent map はあるトロピカル(楕円)曲線のヤコビ多様体上での倍角写像とみなすことができるのです．tent map はとても簡単な力学系ですが，背後には楕円曲線・楕円函数の世界があるということです．この結果は一種の解釈学にすぎませんが，ちょっと面白い解釈学ではないかと思っています．

Bilinearization and Casorati determinant solution to the non-autonomous discrete KdV equation

著者： Kenji Kajiwara and Yasuhiro Ohta (Kobe Univ.)
J. Phys. Soc. Jpn. 77(2008) 054004, Preprint arxiv:0802.0757v1
タイトル通りの内容ですが，これは問題としてはかなり古く，1991年の私の論文にまで遡ります．discrete KP 方程式や離散2次元戸田格子方程式などは格子間隔を対応する独立変数の任意函数に拡張することができます．いわゆる不等間隔差分と言ってもいいし，ここでは non-autonomous と呼んでいます．ところが，不等間隔差分のままではreduction ができません． Reduction する際に，格子間隔を定数にしないと解も双線形方程式もつぶれてしまうのです．だから non-autonomous discrete KdV は作れない! 困った問題ですが，当時は解決できず，1991年の論文では仕方がないのでq-差分に話を限り，reduction を事実上の autonomous化で逃げました．ところが元がq-差分なので， cylindrical Toda lattice の差分化と解釈ができて，解もJackson の q-Bessel函数という由緒正しい特殊函数が出てきたりして，まぁそれなりの結果になりました．では non-autonomous な2次元格子上の離散ソリトン系は作れないのか？広田良吾先生は1997年に離散時間1次元Toda molecule 方程式のnon-autonomous化を行い，Lax pair と保存量を求めているのですが，あの広田先生が解を求めていない！これで話のややこしさがわかるでしょう．さて，昨年10月に福岡大学の松浦さんが中心アフィン平面上の離散曲線の運動方程式として discrete KdV 方程式の non-autonomous 版を提出しました．この設定ではnon-autonomous であることが本質的です．となると，正面からこの問題に向き合って解を作らざるを得ません…というので，やったのが今回の研究です．結局，起源の異なる 3通りの双線形化ができ，幸いにしてソリトン型の解を求めることができました．双線形化は結局コロンブスの卵というか，わかってみれば当たり前というか…．読んでみれば腰が砕けるかも知れませんが，このカラクリはなかなかわからなかったです．

E型アフィンワイル群対称性を持つ加法的離散Painlevé 方程式の超幾何解

著者：梶原健司
九州大学応用力学研究所研究集会報告「戸田格子40周年：非線形波動研究の歩みと展望」(2008) Article No. 3
タイトル通りの内容です．Sakai理論の分類で残っていたE型アフィンワイル群対称性を持つ離散パンルヴェ方程式の最も簡単な超幾何解を構成しました．これで超幾何解が期待される全ての場合について，特殊解として現れる超幾何函数のリストが確定したことになります．超幾何解に関してはτ函数の理論を作り，解を行列式化して…いろいろやることがあります．Fredholm 行列式で書きたいものです．

Hypergeometric solutions to the q-Painlevé equation of type A₄⁽¹⁾

著者： Taro Hamamoto and Kenji Kajiwara
J. Phys. A: Math. Theor., 40(2007) 12509-12524.
タイトル通りの内容です．この方程式は独立変数1個，パラメータが3個あり，Bäcklund 変換のなす対称性はA₄⁽¹⁾型のアフィンワイル群です．この方程式はPainlevé V 方程式への連続極限が知られており，一つのq-Painlevé V と見なすこともできます．解は合流型超幾何函数のq-analog の₁φ₁など (解を特徴づける線形隣接関係式を満たす超幾何函数はこれ以外に複数個あります)を要素とする行列式で表示されます．この方程式は取り扱いにくい部分があって，理論を使うには退化し過ぎ，泥臭くやるには複雑．解を作るのもなかなか面倒でやりたくなかったのですが，当時修士2年だった濱本君のパワーで何とかやり遂げることができました．証明するべき双線形形式は12本．労力は結構なものです．
彼は修士1年で代数幾何をやろうとして挫折，修士2年でまったくゼロから始め(M2で工学部向けの常微分方程式の初等解法の本の勉強から始めた！)， 10ヶ月でこれをやりきった．それも私が途中からSydney大学に1年行ってしまったから指導できたのは実質5ヶ月．これはなかなかすごいことだと思います．

A remark on the Hankel determinant formula for solutions of the Toda equation
- 著者：K. Kajiwara, M. Mazzocco(Univ. Manchester) and Y. Ohta(Kobe Univ.)
- J. Phys. A: Math. Theor., 40(2007) 12661-12675.
- 以下の「PainlevéおよびToda方程式の解のHankel determinant formula と補助線形問題」の full paper 版で，determinant formula のKP理論による特徴付けに関する結果が加筆されています． KP理論を用いた公式は，きれいにまとまった式ですが，かなり不思議な式です．もしかしたらToda階層そのものを表現する式なのかも知れないです．こうなると解と方程式が渾然一体となった世界が…．あれだけ簡単な Toda 分子の解の determinant formulaの背後にこういうものが控えているとは．とりあえず簡単に読める論文だと思いますので，是非ご覧ください．
Point configurations, Cremona transformations and the elliptic difference Painlevé equation
- 著者: Kenji Kajiwara, Tetsu Masuda, Masatoshi Noumi, Yasuhiro Ohta and Yasuhiko Yamada
- Séminaires et Congrès 14(2006) 175-204. Preprint, arXiv:nlin.SI/0411003, MHF2004-5

2005-2006年に掲載された論文

Hypergeometric solutions to the q-Painlevé equation of type (A₁+A'₁)⁽¹⁾
- 著者： Taro Hamamoto, Kenji Kajiwara and Nicholas S. Witte(Univ. Melbourne)
- Int. Math. Res. Not. 2006(2006) Article ID 84619, preprint arXiv:nlin.SI/0607065
- KNMOY の論文中で IMRN に出したその1とその2 で，坂井理論にある q-Painlevé方程式のもっとも簡単な超幾何解はわかりました．次の問題として，それらに Bäcklund 変換を適用してできる高次の超幾何解の determinant formula を作ることが重要です．そこで最初に戻って，もっとも形の簡単な (A₁+A'₁)⁽¹⁾型の方程式 (q-P_II)を取り上げ，超幾何解と determinant formula を作りました．また，この論文の目玉だと思っているのは連続極限を真面目に取り扱っていることです．q-P_IIは P_IIへの連続極限が知られていますが，非線形方程式，従属変数変換，超幾何函数の満たす線形方程式，determinant formula，それらは極限で P_II のそれにビシッと帰着します．ところが解のq-超幾何函数は，そのままではP_II の超幾何解として現れる Airy 函数に帰着しません．級数表示を比べても全然対応しないので，見ていて非常に気持ち悪いのです．連続極限はパラメータqをq→1とする極限ですが，現れる q-超幾何函数をq,t(独立変数)の2変数函数と見たとき，実はq=1は真性特異点になっています．従って，うまい極限を取らないと意味のある結果は得られないわけです．論文ではこの問題に真面目に取り組み，積分表示と鞍点法の拡張を用いた漸近展開を組み合わせて，解のレベルでも「正しい」極限を得ることに成功しました．多分，離散パンルヴェの研究で解レベルの連続極限を議論したのは初めてではないかと思います．(注意：以前 Stokes 現象との関連を言及していましたが，それは誤りであることがわかりました) それにしても，書こうかと思ったときに間違いが見つかったり新しいことがわかったりして，本質的な結果は2006年1月にはあったのに，完成にずいぶん時間がかかった難産の論文です．無事に出版されるといいんですけど，どうやら無事に出版されました．

Generating function associated with the Hankel determinant formula for the solutions of the Painlevé IV equation
- 著者： N. Joshi(Univ. Sydney), K. Kajiwara, M. Mazzocco(Univ. Cambridge)
- to appear in Funkcial. Ekvac.(2006), preprint arXiv:nlin.SI/0512041 (誤りなどを修正した新しいバージョンになっています)
- Astérisque の論文の続編．同様の計算をパンルヴェ IV 方程式についてやってみました．計算の詳細はパンルヴェ IV 特有の事情に依存するにもかかわらず，結果は気持ち悪いくらい見事にパンルヴェ II の場合と一致します．従って，ここで観察される事実はかなり普遍的なものではないかと思います．多分，パンルヴェ特有の構造ではなく，Toda 方程式に付随する構造なのかも知れません．だとすれば，非常に広い範囲の可積分系に見られるでしょう．

PainlevéおよびToda方程式の解のHankel determinant formula と補助線形問題
- 著者：梶原健司
- 九州大学応用力学研究所研究集会報告「非線形波動および非線形力学系の現象と数理」(2006) Article No. 41
- Painlevé方程式の解の Hankel determinant formula の要素の母函数が補助線形問題の解の比となっており，要素は解の比のスペクトルパラメータに関する無限遠点周りの展開係数になっているということを Painlevé II(Astérisque 274 (2004) 67-78) やPainlevé IVについて報告しました．その後，この構造はPainlevé 方程式特有のものではなくToda方程式そのものに起因し，実は 1970年代の Moser や1994年の中村佳正さんの有限 Toda 格子(Toda 分子)に関する研究の一般化になっていることがわかりました． Moser はToda 方程式の Lax pair の L 行列のレゾルベント (λI-L の逆行列：I: 単位行列，λ: スペクトルパラメータ) を考えることで Toda 方程式の作用-角変数を構成し，中村さんはそこから出発してレゾルベントから得られる λに関する有理函数を考察し，そのλ=∞ 周りの展開係数から τ函数のdeterminant formula の要素が得られると主張しました．研究集会の時には最後の Moser-中村の研究との対応にまだ若干謎の部分がありましたが，完全に対応づけることができました．
  なぜレゾルベントという道具で行列式の皮が取れて行列式の要素が出てくるのか，実は若いときから気になっていた疑問でした．そして，この研究で扱っているいわゆる「分子解」(行列式で表示される解で，行列式のサイズ＝格子番号となるような解)そのものも，KP 理論(佐藤理論)の中での位置づけがまだよくわかっていません．もちろんこの研究でそれらの謎が解けたわけではなく，問題が
  
  「なぜ L 行列のレゾルベントから τ の要素が得られるのか」
  から
  
  「なぜ補助線形問題の解の比から τ の要素が得られるのか」
  に変わっただけです．しかし，格段に取り組みやすくなったと思います．また，直交函数系などの理論にこの話が応用できたらいいな，と思います．
  なお， KP 理論で補助線形問題の解が τ 函数の比で書かれることはよく知られていますが，その事実と無限個の時間変数，また Miwa 変換をうまく用いることで，上の現象をKP 理論の枠組みできれいに記述することができるようになりました．KP 理論としても新しい結果だと思います．これに関しては2006年秋の数学会で発表予定で，現在論文を準備中です．

Generating function associated with the Hankel determinant formula for the solutions of the Painlevé II equation
- 著者： N. Joshi(Univ. Sydney), K. Kajiwara, M. Mazzocco(Univ. Cambridge)
- Astérisque 274 (2004) 67-78.
- 2002年の Iwasaki-Kajiwara-Nakamura の続編．今度は generic な解に対するdeterminant formula の要素の母函数を考察してみました．母函数はやはり Riccati 方程式を満足するので，線形化すると何が出るのか，って出してみてびっくり，何と PII の補助線形問題 (Lax pair)が出てきたのでした．なぜこんなことになるのか？いやさっぱりわかりませんが，興味深いと思います．補助線形問題は２階の線形方程式なので独立な解は当然二つあり，その一つが上の母函数と関係するわけですが，では残りの一つは一体どうなっているの？という疑問が湧きます．実はそれもまた別のdeterminant formula の要素の母函数と関係するのですが，詳しくは論文をどうぞ．元々Iwasaki-Kajiwara-Nakamura の結果の起源を知りたくて調べ始めたのですが，また新たな謎が．また，実際に出版されたのは 2005年の中盤なのに，なぜか名目上は2004年になってしまったのは一体？

Soliton solutions for the non-autonomous discrete-time Toda equation
- 著者: Kenji Kajiwara and Atsushi Mukaihira
- J. Phys. A: Math. Gen 38(2005) 6363-6370
- 離散可積分系では，一般に格子間隔を対応する独立変数の任意函数に取っても可積分性が保存されるようです．我田引水ですが，実はこれ，多分最初に気が付いたのは私だと思う．昔，M2の頃にこれに気が付いて離散2次元戸田格子の拡張をやり(実はこの拡張が箱玉系で非常に重要だった)，その reduction から cylindrical Toda の q-バージョンを作り，解として Jackson の q-Bessel 函数が現れることを示したことがあります．ところが，reduction をするとなぜか格子間隔を定数にしてしまうような条件が現れて，本質的にautonomous になってしまうんですね．だから，物理的には重要な離散1次元戸田格子のq- バージョンなんかは作れなかった．ところが，Hirota は 1997年に離散1次元戸田格子で時間に関する格子間隔を任意函数にしてもLax pair，従って保存量が作れることを示しました．ただこれは半無限格子(いわゆる戸田分子)で，しかもHirota にしては珍しく解が書いていない！ということで，これは謎の方程式でした．Spridonov-Zhedanov も双直交函数系の文脈から同じ方程式を出してきています．ところが最近，Tsujimoto-Mukaihira がこの分子解を作ることに成功しました．それをヒントにして，我々は無限格子でソリトン解を作りました，というのがこの論文です．作ってみて，これは…昔ではできなかっただろうな，と思いました．というのは，双線形形式を作る上でτ 函数が一つではダメで，補助的なτが必要なんです．で，解の表示にはその補助的なτは現れない．さらに格子間隔が定数の場合はその二つのτは等しくなる，と．これじゃあわかるはずないよなぁ…．このメカニズムをちゃんと研究すると，今まで解がわからなかったような離散可積分系の解がじゃんじゃん作れるでしょう．で，離散曲面論や離散曲線論に使える，と思ってるんですが誰か～（笑）．

Genarating function related to the Okamoto polynomials for the Painlevé IV equation
- 著者: Hiromichi Goto and Kenji Kajiwara
- Bull. Aust. Math. Soc. 71 (2005) 517-526. (pdfファイル)
- Generating Function Associated with the Rational Solutions of the Painlevé II Equation, J. Phys. A: Math. Gen. 35 L207-L211とGenerating function associated with the Hankel determinant formula for the solutions of the Painlevé II equationの続編，というか，院生だった後藤君とやった仕事をまとめて九大応力研の研究集会報告に出した論文の英語版．今度は P4．Joshi さんから「是非英語版が欲しい」と言われたもので書きました．Okamoto 多項式の Hankel 行列式表示を作り，行列要素の母函数を考えると，それは Riccati 方程式を満たします…ので，線形化してみたくなるでしょ？どんな線形方程式？って，この場合も実は Airy 方程式なんですねぇ．漸近挙動を評価することで，Okamoto 多項式の n>0 の場合の母函数は Ai のlog微分，n<0 の場合は Bi のlog微分で表示されることを示しました．また Airy です．今回は指数的に発散する解と収束する解が反対方向に現れるのってのは何かオモシロイですね．ちなみに，この雑誌，受理から掲載決定までがすご～く速かった．出版も3ヶ月以内にするそうです．速くてよいですね．それから，なぜ今回はタイトルが「related to」になってるかというと，タイトルをスペース込みで 84文字以内にしろ，と．associated with だとオーバーで，related to だとピッタリになるという，それだけの理由．

Construction of hypergeometric solutions to the q-Painlevé equations
- 著者: Kenji Kajiwara, Tetsu Masuda, Masatoshi Noumi, Yasuhiro Ohta and Yasuhiko Yamada
- Int. Math. Res. Not. 2005(24)(2005) 1439-1463.
- Hypergeometric solutions for q-Painlevé equations,IMRN 2004:47 (2004) 2497-2521 の続編．前の論文では平面3次曲線の幾何を使ってうまい線形化の座標を見つけて，解として現れるq-超幾何函数を各q-Painlevé方程式について同定しました．しかしながら，「文献に現れる形」の従属変数に対して解を書き下すには（原理的には射影変換で結び付いているとはいえ）まだひと作業必要で，前の論文では結果のみを示していました．この論文ではとにかく具体的に計算を述べることを意識し，その「ひと作業」の詳細を議論しています．特に E₇⁽¹⁾ 型の q-Painlevé 方程式を例にして計算を詳しく述べました．
「応用数学ハンドブック」
- 藤原毅夫，平尾公彦，久田俊明，広瀬啓吉編
- 分担執筆，第４章「複素関数論」の執筆を担当．密かにこういうものも書いていたんですよ（笑）
- 丸善，2005年3月

Cubic pencils and Painlevé hamiltonians
- 著者: K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y.Ohta and Y.Yamada
- Funkcialaj Ekvacioj 48(1)(2005) 147-160.

q-Painlevé方程式の超幾何解
- 著者: 梶原健司，増田哲，野海正俊，太田泰広，山田泰彦
- 京都大学数理解析研究所講究録「可積分系数理の展望と応用」1422(2005) 77--98. (pdfファイル)
- q-Painlevé方程式の超幾何解に関する解説論文．特に平面3 次曲線の幾何を使う方法について E₇⁽¹⁾ 型を例にとって可能な限り（そしてかなりリキを入れて）丁寧に書いたつもりです．是非お手にとってご覧下さい．

q-Painlevé II および V 方程式の超幾何解
- 著者: 濱本太郎，梶原健司
- 九州大学応用力学研究所研究集会報告 No.16ME-S1「非線形波動の物理と数理構造」 Article No. 41.
- Hypergeometric solutions for q-Painlevé equations, IMRN 2004:47 (2004) 2497-2521 とConstruction of hypergeometric solutions to the q-Painlevé equations, IMRN 2005:24 (2005) 1439-1463の続編．この二つの論文ではもっとも簡単な超幾何解を各q-Painlevé に関して構成したのですが，一般にはこれにBäcklund 変換を作用させるとWeyl 群作用の鏡映面上に行列式で表示される超幾何解が得られると考えられています．この報告ではM2濱本君といっしょに q-P2 および q-P5 と呼ばれる q-Painlevé 方程式に関してそのような超幾何解を構成した結果を書いています．特にq-P5 なんかは結構面倒な計算があるのだけれど，濱本君は本当によく頑張ってくれて，最後は方法を完全に自分のものにしていました．残念ながら紙数の都合でほとんど結果だけで，詳細は論文を執筆中…いや，そのうち執筆を開始することでしょう．早く書き始めねば．これで D₅⁽¹⁾以下の q-Painlevé方程式については超幾何解の行列式表示がわかったことになります．

2003-2004年に掲載された論文

Cremona 変換と楕円差分Painlevé 方程式-高次元的な枠組みへの試論-

著者: 梶原健司，増田哲，野海正俊，太田泰広，山田泰彦
京都大学数理解析研究所講究録1400「可積分系理論とその周辺－課題と展望を探る」(2004) 197--262. (pdfファイル)
点配置空間に作用するWeyl群の双有理作用をベースにした楕円パンルヴェ方程式の定式化に関する総括論文．Cremona 変換の楕円函数による線形化(要するにパラメータづけ)やτ函数について詳しく述べています．最後に楕円パンルヴェ方程式の平面3次曲線の幾何による定式化との同値性を証明してあります．

Hypergeometric solutions to the q-Painlevé equations
- 著者: K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y.Ohta and Y.Yamada
- 長い間，大きな対称性を持つ離散パンルヴェ方程式の特殊解としてどのような超幾何函数が現れるのか興味が持たれてきました．例えばD⁽¹⁾₅対称性を持つq-PVI 方程式の超幾何解は Gauss の超幾何函数 ₂F₁の qアナログである ₂Φ₁であることがわかっており，もちろん連続極限で方程式も解も PVI に移行します．めでたい．ところが，それ以上大きな対称性を持つ離散パンルヴェ方程式，坂井理論によれば W(E⁽¹⁾₆),W(E⁽¹⁾₇),W(E⁽¹⁾₈) を持つq-差分パンルヴェ方程式があることがわかっていますが，これらは連続極限を持ちません！ではそれらの超幾何解として何が現れるのか興味ありますよね？ところが，技術的に非常に困難な点があり，長い間これができませんでした．この論文では，昨年の論文で提出したP²上の３次曲線の幾何を用いる定式化を用い，やっとこの困難を回避して超幾何解を持つであろう全ての q-パンルヴェ方程式の超幾何解を構成しました．(ただし，パンルヴェ微分方程式ではわかっているような，他のq-パンルヴェ方程式が超幾何解を持たないという証明や，パラメータ空間のどこだけに超幾何解がある，とかいう話はまだありません．梅村理論の離散版が必要です．誰かやりませんかねぇ)
- IMRN 2004:47 (2004) 2497-2521 , arXiv:nlin.SI/0403036,
₁₀E₉ solution to the elliptic Painlevé equation

著者：K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y.Ohta and Y.Yamada
２階のパンルヴェ型の力学系の頂点に立ち， E⁽¹⁾₈型アフィンワイル群対称性を持つ「楕円パンルヴェ方程式」を攻略し，特殊解として現れる超幾何函数が ₁₀E₉ であることを示した．この論文では， P²上の９点のなす配置空間に W(E⁽¹⁾₈)が作用することを用いて， tau 函数のレベルでの W(E⁽¹⁾₈)の双有理表現を構成した．また，P²上の３次曲線の幾何による楕円パンルヴェ方程式の定式化を行った．総力戦でついについにやりました！
J. Phys. A: Math. Gen. 36(2003) L263-L272

On a q-Painlevé III Equation. I: Derivations, Symmetry and Riccati Type Solutions
- 著者：Kenji Kajiwara and Kinji Kimura
- q-PIII を詳細に議論した論文の part 1．この論文では discrete-time relativistic Toda lattice からの導出，対称性，2種類の超幾何解を議論した．
- J. Nonlin. Math. Phys. 10 (2003) 86-102.

On a q-Painlevé III Equation. II: Rational Solutions
- 著者：Kenji Kajiwara
- q-PIII を詳細に議論した論文の part2. この論文では有理解と determinant formula について詳しく議論した．
- J. Nonlin. Math. Phys. 10 (2003) 282-303.

q-Painlevé Systems Arising from q-KP Hierarchy
- 著者： Kenji Kajiwara, Masatoshi Noumi and Yasuhiko Yamada
- q-KP階層の定式化を与えました．また，その similarity reduction から A⁽¹⁾₁× A⁽¹⁾_n-1型アフィンワイル群対称性を持つ離散力学系を導き，そのもっとも簡単な場合がq-PIVとなることを示しました．また，q-Schur 函数の similarity reduction からそれらの力学系の有理解を構成しました．
- Lett. Math. Phys. 62 (2003) 259-268

2001-2002年に掲載された論文

Determinant Formula for the Toda and Discrete Toda Equations
- 著者： K. Kajiwara,T. Masuda, M. Noumi, Y. Ohta and Y. Yamada
- Toda および離散 Toda 方程式の一般解の行列式表示を得，それを用いて Painleve 方程式の tau 函数の多項式性を証明した．
- Funkcial. Ekvac. 44(2001) 291-307
A Study on the fourth q-Painlevé Equation
- 著者：Kenji Kajiwara, Masatoshi Noumi and Yasuhiko Yamada
- A型のアフィンワイル群の「乗法的」表現を構成し，それを用いて q-Painlevé IV 方程式の対称形式を作った．特殊解として continuous q-Hermite 函数を要素とする行列式で表わされる解を構成した．また，この力学系が A₂⁽¹⁾×A₁⁽¹⁾ 型ルート格子上の力学系とみなすことができ，Sakai による Mul.6 系と等価であることを示した．さらに，超離散化も可能であることを指摘した．
- J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 8563-8581
A Determinant Formula for a Class of Rational Solutions of Painlevé V Equation
- 著者： T. Masuda, Y. Ohta and K. Kajiwara
- Painlevé V 方程式の，パラメータ空間における Weyl chamber の重心にいるクラスの全ての有理解を Universal Character(Schur 函数の一種の拡張)を用いて表わすことができた．この表示は Noumi-Yamada による PV の Umemura 多項式に対する determinant formula の一般化であり，また，彼らの一般的な Jacobi-Trudi 型の determinant formula とは異なる表示である．
- Nagoya Math. J. 168(2002) 1-25.
Discrete dynamical systems with W(A⁽¹⁾_m-1 × A⁽¹⁾_n-1) symmetry
- 著者： K. Kajiwara, M. Noumi and Y. Yamada
- アフィンワイル群 W(A⁽¹⁾_m-1 × A⁽¹⁾_n-1)の双有理な実現を提案し，それを用いて可積分な離散力学系の族を構成した．得られる力学系は離散 Toda 方程式とその一般化と見なすことができ，適当な変数変換でq-PIV 方程式を含む q-差分パンルヴェ型の力学系の族を得ることもできる．また，この実現は "tropical"，すなわち引き算のない有理写像として構成されているため，標準的な手続きで超離散極限を取ることができる．
- Lett. Math. Phys. 60 (2002) 211-219.
Generating Function Associated with the Rational Solutions of the Painlevé II Equation
- 著者：K. Iwasaki, K. Kajiwara and T. Nakamura
- PII の有理解を特徴付ける特殊多項式であるYablonski-Vorob'ev 多項式のJacobi-Trudi 型行列式表示から，それが Schur 函数の特殊化であることがわかります．このように行列式表示からその対象の本質的な意味がわかることが多いのですが， Yablonski-Vorob'ev 多項式にはもう一つ Hankel 行列式による表示が知られています．この意味は何か？まずは要素の母函数を考えましょう… その結果びっくり．何と母函数はエアリ函数の対数微分となりました．なぜびっくりかと言うと，エアリ函数の対数微分はPIIの超幾何解（別の特殊解）だからです．超幾何解が有理解を生成する…一体これは何を意味するのでしょう．新しい現象を発見した論文．
- J. Phys. A: Math. Gen. 35(2002) L207-L211

1999-2000年に掲載された論文

「論文」じゃありませんが
「可積分系の応用数理」裳華房(2000)
- 編者: 中村佳正，著者:辻本諭(阪大基礎工)，松木平淳太(龍谷大理工)，西成活裕(龍谷大理工)，梶原健司，永井敦(阪大基礎工)，中村佳正(阪大基礎工)，渡邊芳英(同志社大工)
Biliearization of Discrete Soliton Equations through the Singularity Confinement Test
- 著者: Kenji Kajiwara, Ken-ichi Maruno and Masayuki Oikawa
- Chaos, Solitons & Fractals {\bf 11}(2000) 33-40.
- 特異点閉じ込め法を用いて与えられた離散ソリトン系の厳密解を初等的かつ組織的に構成する方法を論じています．
A Generalization of Determinant Formulas for the Solutions of Painlevé II and XXXIV Equations
- 著者： K. Kajiwara and T. Masuda
- Darboux 変換および Hirota の直接法の手法を用いて Painlevé II および XXXIV 方程式（KdV 方程式の similarity reduction から得られる方程式で、Painlevé II と Miura 変換で結び付いている）の古典解の行列式表示を拡張し、パラメータの値が一般の場合（従って解が超越的な場合）に対しても解の行列式表示を得た。
- J. Phys. A {\bf 32}(1999) 3763-3778.
On the Umemura Polynomials for the Painlevé III Equation
- 著者： K. Kajiwara and T. Masuda
- Painlevé III 方程式の有理解に現れる特殊多項式(Umemura polynomials) が 2-reduced Schur 多項式の特殊化であることを示した。Jacobi-Trudi 型の行列式表示においては、要素は Laguerre 多項式で与えられる。
- Phys. Lett. A{\bf 260}(1999) 462-467.

1997年-1998年に掲載された論文

Casorati Determinant Solutions for the Discrete Relativistic Toda Lattice Equation
- 著者：Ken-ichi Maruno, Kenji Kajiwara and Masayuki Oikawa
- 特異点閉じ込め法を用いて Suris による Discrete Relativistic Toda Lattice Equation を双線形化し、それからN-ソリトン解を具体的に構成した。また、双線形形式からこの方程式が Discrete Time Toda Lattice 方程式の B\"acklund 変換の結合系であることを明らかにした。
- Phys. Lett. A {\bf 241}(1998) 335.
Determinant Structure of the Rational Solutions for the Painlevé IV Equation
- 著者： K. Kajiwara and Y. Ohta
- Painlevé IV 方程式の３つの系列の有理解に対して行列式表示を構成した。その結果、２つの系列は Hermite 多項式を要素とする Hankel 行列式で、また１つの系列は 3-reduced Schur 函数の特殊な場合で表されることを示した。
- J. Phys. A {\bf 31}(1998) 2431
Coalescense Cascades and Special Function Solutions for the Continuous and Discrete Painlevé Equations
- 著者：K. M. Tamizhmani, A. Ramani, B. Grammaticos and K. Kajiwara
- いくつかのパンルベおよび離散パンルベ方程式の特殊函数解の具体的な退化を議論した。
- J. Phys. A {\bf 31}(1998) 5799
On an Integrable Discretization of the Rayleigh Quatient Gradient System and the Power Method with the Optimal Shift

著者： Y. Nakamura, K. Kajiwara and H. Shiotani
Rayleigh商勾配系の可積分な離散化を行なった。この離散勾配系は任意の大きなステップサイズに対して連続系と同じ平衡点に指数関数的に収束する。この離散勾配系は本質的に原点移動を伴うベキ乗法と等価であることを示し、厳密解を用いることで最適な原点移動量を求める。
to appear in J. Comp. Appl. Math(1998)

Rational Solutions for the Discrete Painlevé II Equation

著者：K. Kajiwara, K. Yamamoto(同志社大工), Y. Ohta(広島大工)
Discrete Painlevé II 方程式の有理解を直接法を用いて構成した。解はLaguerre多項式を要素とする行列式で表示される。また、この結果は連続極限で Painlevé II 方程式の有理解のDevisme多項式表現に帰着することを示した。
Phys. Lett. {\bf A232}(1997), 189.

Two-dimensional Soliton Cellular Automaton of Deautonomized Toda-type
- A. Nagai, T. Tokihiro, J. Satsuma, R. Willox and K. Kajiwara
- 2次元離散時間 Toda 格子を不等間隔格子に拡張し、さらにその超離散化を行い、ある種の2次元セルオートマトンを得、その厳密解を構成した。
- Phys. Lett. {\bf A234}(1997), 301.
Bilinearization of Discrete Soliton Equations and Singularity Confinement

著者：K. Maruno(九大総理工), K. Kajiwara, M. Oikawa(九大応力研), S. Nakao(龍谷大理工)
特異点閉じ込め法は非線形差分方程式の可積分性を判定するだけでなく、ソリトン解などの構築にも有効である。従来、与えられた差分方程式の解を構成することは困難とされ、既知の離散型ソリトン方程式は「解から作った」か、もしくは「方程式はあるが解がわからない」のどちらかであった。この方法により、少なくとも与えられた差分方程式の双線形形式はほとんどroutine workでわかるようになる。
Physics Letters {\bf A 229} (1997) 173.

Solution and Integrability of a Generalized Derivative Nonlinear Schrodinger Equation

著者：K. Kondo, K. Kajiwara and K. Matsui
一般化された微分型非線形シュレディンガー方程式
```
{\rm i} U_t + {1\over 2} U_{xx} + |U|^2 U+ {\rm i} \alpha|U|^2 U_x 
+ {\rm i} \beta U^2 U_x^* = 0,
```
に対し、任意のパラメータに対する進行波解を構成した。さらに、パンルベテストによって可積分性を調べ、数値計算によって進行波の衝突安定性を調べた。
Journal of the Physical Society of Japan, 66(1997), 30.